Exercice 16, § 7

Soient A un anneau local noethérien et $x = (x_1, ..., x_d)$ un idéal engendré par une suite sécante maximale pour A. Montrer que l’on a l’inégalité $e_x(A) \leqslant \mathrm{long}(A/x)$ et que l’égalité n’a lieu que si l’homomorphisme $(A/x)[T_1, ..., T_d] \xrightarrow{\varphi} \mathrm{gr}_x(A)$ défini par $\varphi(T_i) = \xi_i$, où $\xi_i$ est la classe de $x_i$ modulo $x^2$, est un isomorphisme (ce qui signifie que $(x_1, ..., x_d)$ est complètement sécante).