Bài tập 16, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương Noether và $x = (x_1, ..., x_d)$ là một iđêan sinh bởi một dãy cắt cực đại đối với $A$. Bây giờ chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $e_x(A) \leqslant \mathrm{long}(A/x)$ và đẳng thức chỉ xảy ra nếu đồng cấu $(A/x)[T_1, ..., T_d] \xrightarrow{\varphi} \mathrm{gr}_x(A)$ được xác định bởi $\varphi(T_i) = \xi_i$, trong đó $\xi_i$ là lớp của $x_i$ modulo $x^2$, là một đẳng cấu (điều đó có nghĩa là $(x_1, ..., x_d)$ là hoàn toàn cắt).