Exercice 3, § 7

Soient $k$ un corps, et $f_1, ..., f_r$ des éléments homogènes de l’anneau gradué $k[X_1, ..., X_n]$ formant une suite complètement sécante. On dira que l’anneau quotient

est un anneau gradué d’intersection complète. Soit $I$ un idéal gradué non nul de l’anneau $H = k[X_1, ..., X_n]/(f_1, ..., f_r)$ muni de la graduation quotient. Montrer que l’on a $\dim(I) = \dim(H)$. En déduire que l’on a ou bien $\dim(H/I) < \dim(H)$, ou bien $\dim(H/I) = \dim(H)$ et $c_{M/I} < c_M$ (§ 4, n° 2). (On considérera l’idéal $b$ formé des $s \in H$ tels que $s.I = \{0\}$ et on montrera que si l’on a $\dim(I) < \dim(H)$, alors $b$ contient un élément non diviseur de zéro, en examinant la position de $b$ par rapport aux idéaux premiers minimaux de $H$ et à $H_+ = H_{\geq 1}$.)