Bài tập 3, § 7

Cho $k$ là một trường, và cho $f_1, ..., f_r$ là các phần tử thuần nhất của vành phân bậc $k[X_1, ..., X_n]$ tạo thành một dãy hoàn toàn ngang. Ta sẽ nói rằng vành thương

là một vành phân bậc giao đầy đủ. Cho $I$ là một iđêan phân bậc khác không của vành $H = k[X_1, ..., X_n]/(f_1, ..., f_r)$ được trang bị phân bậc thương. Bây giờ chứng minh rằng ta có $\dim(I) = \dim(H)$. Suy ra rằng ta có hoặc $\dim(H/I) < \dim(H)$, hoặc $\dim(H/I) = \dim(H)$ và $c_{M/I} < c_M$ (§ 4, n° 2). (Ta sẽ xét iđêan $b$ tạo bởi các $s \in H$ sao cho $s.I = \{0\}$ và ta sẽ chứng minh rằng nếu có $\dim(I) < \dim(H)$, thì $b$ chứa một phần tử ước khác không, bằng cách khảo sát vị trí của $b$ đối với các iđêan nguyên tố cực tiểu của $H$ và đối với $H_+ = H_{\geq 1}$.)