Exercice 4, § 7

Soit $A$ un anneau local noethérien, d’idéal maximal $m$. a) Supposons que $\mathrm{gr}_m(A)$ soit un anneau gradué d’intersection complète (cf. exerc. 3). Montrer que le complété $\hat{A}$ de $A$ est d’intersection complète, c’est-à-dire le quotient d’un anneau local régulier par un idéal engendré par une suite complètement sécante. b) Soit $x \in m$, et soit $\xi$ l’image de $x$ dans $m^v/m^{v+1}$, où $v$ est tel que $x \in m^v$ et $x \notin m^{v+1}$. Montrer que l’on a $e_m(A/x.A) = v.e_m(A)$ si et seulement si $\xi$ n’est pas diviseur de zéro dans $\mathrm{gr}_m(A)$, et que dans ce cas on a $\mathrm{gr}_m(A/x.A) = \mathrm{gr}_m(A)/\xi.\mathrm{gr}_m(A)$ et $x$ n’est pas diviseur de zéro dans $A$. (Soit $I$ l’idéal homogène de $\mathrm{gr}_m(A)$ formé des éléments $\eta \in \mathrm{gr}_m(A)$ tels que $\xi.\eta = 0$. Considérons l’idéal $N_n = m^{v+n}:x$ de $A$ et l’application de $I_n$ dans $N_{n+1}/m^{n+1}$ qui à $\eta \in I_n$ associe la classe mod. $m^{n+1}$ d’un élément $y \in A$ relevant $\eta$. On montrera qu’elle est injective, et on en déduira l’inégalité

(i)

par ailleurs, on démontrera l’égalité

(ii)

On remarquera enfin que $\xi$ est diviseur de 0 si et seulement si $I \neq \{0\}$, et utilisant l’exercice précédent, on déduira de (i) que l’on a $\sum_{n \geq 0} \operatorname{long}_{A/m}(N_{n+1}/m^{n+1}). T^n = \frac{S(T)}{(1 - T)^\nu}$ avec $S(1) \neq 0$, et de (ii) l’inégalité $e_m(A/xA) > e_m(A).$

c) Soit $(x_1, ..., x_s)$ une suite d’éléments de l’idéal maximal $m$. Supposons qu’on ait $x_i \in m^{\nu_i}$ et $x_i \notin m^{\nu_i + 1}$, et soit $\xi_i$ la classe de $x_i$ dans $m^{\nu_i}/m^{\nu_i + 1}$. Montrer que l’on a $e_m(A/x) \geq e_m(A). \nu_1 ... \nu_s$ et que l’égalité a lieu si et seulement si la suite $(\xi_1, ..., \xi_s)$ est complètement sécante dans l’anneau $\operatorname{gr}_m(A)$. Dans ce cas on a un isomorphisme d’anneaux gradués de $\operatorname{gr}_m(A/x)$ avec $(\operatorname{gr}_m(A))/\xi$ avec $x = \sum_i x_i A, \quad \xi = \sum_i \xi_i \operatorname{gr}_m(A).$