Bài tập 4, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, với iđêan cực đại $m$. (a) Giả sử rằng $\mathrm{gr}_m(A)$ là một vành phân bậc là giao đầy đủ (xem bài tập 3). Bây giờ chứng minh rằng đầy đủ hóa $\hat{A}$ của $A$ là một giao đầy đủ, nghĩa là thương của một vành địa phương chính quy bởi một iđêan sinh bởi một dãy giao đầy đủ. (b) Cho $x \in m$, và cho $\xi$ là ảnh của $x$ trong $m^v/m^{v+1}$, trong đó $v$ là số sao cho $x \in m^v$ và $x \notin m^{v+1}$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $e_m(A/x.A) = v.e_m(A)$ khi và chỉ khi $\xi$ không là một ước của không trong $\mathrm{gr}_m(A)$, và trong trường hợp này ta có $\mathrm{gr}_m(A/x.A) = \mathrm{gr}_m(A)/\xi.\mathrm{gr}_m(A)$ và $x$ không là một ước của không trong $A$. (Gọi $I$ là iđêan thuần nhất của $\mathrm{gr}_m(A)$ tạo bởi các phần tử $\eta \in \mathrm{gr}_m(A)$ sao cho $\xi.\eta = 0$. Xét iđêan $N_n = m^{v+n}:x$ của $A$ và ánh xạ từ $I_n$ vào $N_{n+1}/m^{n+1}$, ánh xạ này gán cho $\eta \in I_n$ lớp mod. $m^{n+1}$ của một phần tử $y \in A$ nâng $\eta$. Ta sẽ chứng minh rằng nó đơn ánh, và từ đó suy ra bất đẳng thức

(i)

hơn nữa, ta sẽ chứng minh đẳng thức

(ii)

Cuối cùng ta sẽ nhận xét rằng $\xi$ là một ước của không khi và chỉ khi $I \neq \{0\}$, và dùng bài tập trước đó, ta sẽ suy ra từ (i) rằng có

$\sum_{n \geq 0} \operatorname{long}_{A/m}(N_{n+1}/m^{n+1}). T^n = \frac{S(T)}{(1 - T)^\nu}$ với $S(1) \neq 0$, và từ (ii) bất đẳng thức $e_m(A/xA) > e_m(A).$

(c) Cho $(x_1, ..., x_s)$ là một dãy các phần tử của iđêan cực đại $m$. Giả sử rằng ta có $x_i \in m^{\nu_i}$ và $x_i \notin m^{\nu_i + 1}$, và gọi $\xi_i$ là lớp của $x_i$ trong $m^{\nu_i}/m^{\nu_i + 1}$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $e_m(A/x) \geq e_m(A). \nu_1 ... \nu_s$ và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi dãy $(\xi_1, ..., \xi_s)$ là một dãy giao đầy đủ trong vành $\operatorname{gr}_m(A)$. Trong trường hợp này ta có một đẳng cấu của các vành phân bậc của $\operatorname{gr}_m(A/x)$ với $(\operatorname{gr}_m(A))/\xi$ với $x = \sum_i x_i A, \quad \xi = \sum_i \xi_i \operatorname{gr}_m(A).$