Exercice 7, § 7

Soient $A$ un anneau local, d’idéal maximal $m$, $M$ un $A$-module de type fini, $(x_1, ..., x_d)$ une suite d’éléments de $m$ sécante pour le $A$-module $M$, et $x$ l’idéal $x_1 A + \cdots + x_d A$.

a) Supposons le $A$-module $M$ fidèle. Alors le quotient de $\operatorname{gr}_x(A)$ par son nilradical $n$ est isomorphe à $(A/m)[X_1, ..., X_d]$ et $(\operatorname{gr}_x(M))_n$ est un $(\operatorname{gr}_x(A))_n$-module de longueur $e_x(M)$.

b) Dans le cas général, $\operatorname{gr}_x(A)$ possède un unique idéal premier minimal $n$ et $(\operatorname{gr}_x(M))_n$ est un $\operatorname{gr}_x(A)$-module de longueur $e_x(M)$.