Bài tập 7, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương, với iđêan cực đại $m$, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, $(x_1, ..., x_d)$ là một dãy các phần tử của $m$ cắt đối với $A$-môđun $M$, và $x$ là iđêan $x_1 A + \cdots + x_d A$.

a) Giả sử $A$-môđun $M$ trung thành. Khi đó thương của $\operatorname{gr}_x(A)$ theo căn lũy linh của nó $n$ là đẳng cấu với $(A/m)[X_1, ..., X_d]$ và $(\operatorname{gr}_x(M))_n$ là một $(\operatorname{gr}_x(A))_n$-môđun có độ dài $e_x(M)$.

b) Trong trường hợp tổng quát, $\operatorname{gr}_x(A)$ có một iđêan nguyên tố cực tiểu duy nhất $n$ và $(\operatorname{gr}_x(M))_n$ là một $\operatorname{gr}_x(A)$-môđun có độ dài $e_x(M)$.