Exercice 1, § 10

Soient $A$ un anneau, $J$ un idéal de $A$, $M$ un $A$-module. On désigne par $H_{A,J}(M)$, ou simplement $H_J(M)$, le $A$-module gradué $\lim_n \operatorname{Ext}_A(A/J^n, M)$. Si $A$ est local noethérien, le $A$-module gradué $H_{A,m_A}(M)$ s’identifie à $H_A(M)$.

a) Etablir pour $H_J(M)$ les propriétés analogues à celles de $H_A(M)$ vis-à-vis des homomorphismes et des suites exactes de $A$-modules (n° 1).

b) Définir pour tout $i \geqslant 1$ des isomorphismes $H_J^{i+1}(M) \to \lim_n \operatorname{Ext}_A^i(J^n, M)$.

c) On suppose l’anneau $A$ local noethérien de dimension $d$, et l’idéal $J$ engendré par une suite complètement sécante $(x_1, \ldots, x_r)$. Construire un isomorphisme

qui généralise l’isomorphisme $\tau^i(M)$ du n° 2 ; en particulier, on a $H_J^i(A) = 0$ pour $i > r$.

d) Pour tout idéal $K$ de $A$ contenu dans $J$, on note $\rho_{K,J} : H_J(M) \to H_K(M)$ l’homomorphisme déduit des applications canoniques de $A/K^n$ dans $A/J^n$. Soit $I$ un idéal de $A$ ; construire une suite exacte longue de $A$-modules

où $\alpha(x) = (\rho_{I,I+J}(x), \rho_{J,I+J}(x))$ et $\beta(x, y) = \rho_{I \cap J, I}(x) - \rho_{I \cap J, J}(y)$.