Bài tập 1, § 10

Cho $A$ là một vành, $J$ là một iđêan của $A$, $M$ là một $A$-môđun. Ta ký hiệu bởi $H_{A,J}(M)$, hoặc đơn giản là $H_J(M)$, môđun $A$ phân bậc $\lim_n \operatorname{Ext}_A(A/J^n, M)$. Nếu $A$ là địa phương Noether, môđun $A$ phân bậc $H_{A,m_A}(M)$ được đồng nhất với $H_A(M)$.

a) Thiết lập cho $H_J(M)$ các tính chất tương tự như các tính chất của $H_A(M)$ đối với các đồng cấu và các dãy khớp của các $A$-môđun (No. 1).

b) Định nghĩa, với mọi $i \geqslant 1$, các đẳng cấu $H_J^{i+1}(M) \to \lim_n \operatorname{Ext}_A^i(J^n, M)$.

c) Giả sử vành $A$ là địa phương Noether có chiều $d$, và iđêan $J$ được sinh bởi một dãy cắt hoàn toàn $(x_1, \ldots, x_r)$. Xây dựng một đẳng cấu

mở rộng đẳng cấu $\tau^i(M)$ của No. 2; đặc biệt, ta có $H_J^i(A) = 0$ với $i > r$.

d) Với mọi iđêan $K$ của $A$ được chứa trong $J$, ký hiệu bởi $\rho_{K,J} : H_J(M) \to H_K(M)$ đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ chính tắc của $A/K^n$ vào $A/J^n$. Cho $I$ là một iđêan của $A$; xây dựng một dãy khớp dài của các $A$-môđun

trong đó $\alpha(x) = (\rho_{I,I+J}(x), \rho_{J,I+J}(x))$ và $\beta(x, y) = \rho_{I \cap J, I}(x) - \rho_{I \cap J, J}(y)$.