Exercice 10, § 10

Soient $k$ un corps, $A$ une $k$-algèbre locale régulière de dimension $d$, telle que l’extension $k \to \kappa_A$ soit triviale. Les $A$-modules $H^d_A(A)$ et $A' = \mathrm{Hom}_k^{cont}(A, k)$ sont des modules de Matlis, donc isomorphes ; on se propose d’expliciter un isomorphisme entre ces deux modules.

a) Soit $x = (x_1, \ldots, x_d)$ un système de coordonnées de $A$. Pour tout entier $p \geqslant 0$, on note $A_p$ la $k$-algèbre $A/(x_1^p, \ldots, x_d^p)$. Les classes des monômes $x_1^{a_1} \ldots x_d^{a_d}$ avec $0 \leqslant a_i < p$ forment une base de $A_p$ sur $k$ ; on désigne par $\rho_p$ la forme linéaire sur $A_p$ qui vaut 1 sur la classe de $x_1^{p-1} \ldots x_d^{p-1}$ et 0 sur les autres éléments de la base. Démontrer que l’application $k$-linéaire $\tilde{\rho}_p : A_p \to \mathrm{Hom}_k(A_p, k)$ déduite de la forme bilinéaire $(a, b) \mapsto \rho_p(ab)$ est un isomorphisme (on pourra raisonner directement, ou utiliser l’exerc. 10 du § 5).

b) Pour $q \geqslant p$, soit $u_{qp} : A_p \to A_q$ l’homomorphisme $A$-linéaire induit par l’homothétie de rapport $(x_1 \ldots x_d)^{q-p}$, et soit $\pi_{pq} : A_q \to A_p$ l’application de passage au quotient ; démontrer qu’on a $\tilde{\rho}_q \circ u_{qp} = {}^t \pi_{pq} \circ \tilde{\rho}_p$. En déduire par passage à la limite inductive, compte tenu de l’exerc. 8, c), un isomorphisme $A$-linéaire $\tilde{\rho} : H^d_A(A) \to A'$.

c) On suppose $d = 1$, de sorte que $A$ est un anneau de valuation discrète, et $x_1 = x$ une uniformisante de $A$. Montrer que le choix de l’uniformisante $x$ permet d’identifier $H^1_A(A)$ à $K/A$ ; l’isomorphisme $\rho : K/A \to A'$ est alors défini par $\rho(\varphi)(a) = \mathrm{Res}(a \varphi)$, où $\mathrm{Res} : K/A \to k$ est la projection sur le facteur $kx^{-1}$ dans la décomposition canonique $K/A = \bigoplus_{n \geqslant 1} kx^{-n}$.