Bài tập 10, § 10

Cho $k$ là một trường, $A$ là một $k$-đại số địa phương chính quy có chiều $d$, sao cho mở rộng $k \to \kappa_A$ là tầm thường. Các $A$-môđun $H^d_A(A)$ và $A' = \mathrm{Hom}_k^{cont}(A, k)$ là các môđun Matlis, do đó đẳng cấu; chúng tôi đề xuất xây dựng tường minh một đẳng cấu giữa hai môđun này.

(a) Cho $x = (x_1, \ldots, x_d)$ là một hệ tọa độ của $A$. Với mọi số nguyên $p \geqslant 0$, ký hiệu $A_p$ là $k$-đại số $A/(x_1^p, \ldots, x_d^p)$. Các lớp của các đơn thức $x_1^{a_1} \ldots x_d^{a_d}$ với $0 \leqslant a_i < p$ tạo thành một cơ sở của $A_p$ trên $k$; ký hiệu $\rho_p$ là dạng tuyến tính trên $A_p$ có giá trị 1 trên lớp của $x_1^{p-1} \ldots x_d^{p-1}$ và 0 trên các phần tử khác của cơ sở. Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính $k$ $\tilde{\rho}_p : A_p \to \mathrm{Hom}_k(A_p, k)$ suy ra từ dạng song tuyến tính $(a, b) \mapsto \rho_p(ab)$ là một đẳng cấu (có thể lập luận trực tiếp, hoặc dùng bài tập 10 của § 5).

(b) Với $q \geqslant p$, cho $u_{qp} : A_p \to A_q$ là đồng cấu $A$-tuyến tính cảm sinh bởi phép vị tự có tỉ số $(x_1 \ldots x_d)^{q-p}$, và cho $\pi_{pq} : A_q \to A_p$ là ánh xạ chuyển qua thương; chứng minh rằng ta có $\tilde{\rho}_q \circ u_{qp} = {}^t \pi_{pq} \circ \tilde{\rho}_p$. Suy ra bằng cách chuyển qua giới hạn quy nạp, có tính đến bài tập 8, c), một đẳng cấu $A$-tuyến tính $\tilde{\rho} : H^d_A(A) \to A'$.

(c) Giả sử $d = 1$, sao cho $A$ là một vành định giá rời rạc, và $x_1 = x$ là một phần tử đồng nhất hóa của $A$. Chứng minh rằng việc lựa chọn phần tử đồng nhất hóa $x$ cho phép đồng nhất $H^1_A(A)$ với $K/A$; khi đó đẳng cấu $\rho : K/A \to A'$ được xác định bởi $\rho(\varphi)(a) = \mathrm{Res}(a \varphi)$, trong đó $\mathrm{Res} : K/A \to k$ là phép chiếu lên nhân tử $kx^{-1}$ trong phân tích chính tắc $K/A = \bigoplus_{n \geqslant 1} kx^{-n}$.