Exercice 3, § 10

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, tel que $\rho(m_A)B$ soit un idéal de définition de $B$.

a) Construire pour tout $B$-module $N$ un isomorphisme $A$-linéaire naturel de $H_A(N)$ sur $H_B(N)$. (En utilisant une résolution injective de $N$, montrer qu’il suffit de prouver qu’on a $H_A^i(J) = 0$ pour tout $i > 0$ et tout $B$-module injectif indécomposable $J$. Soient $q$ l’unique élément de $\operatorname{Ass}_B(J)$, et $p = \rho^{-1}(q)$. Si $p \neq m_A$, observer qu’il existe $a \in m_A$ tel que l’homothétie $a_J$ soit bijective. Si $p = m_A$, et si $I$ est une résolution injective minimale du $A$-module $J$, observer qu’on a $\operatorname{Ass}_A(I^n) = \{m_A\}$ pour tout $n$.)

b) On suppose de plus que $B$ est un $A$-module plat. Construire pour tout $A$-module $M$ un isomorphisme $B$-linéaire naturel de $B \otimes_A H_A(M)$ sur $H_B(B \otimes_A M)$.