Bài tập 3, § 10

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, sao cho $\rho(m_A)B$ là một iđêan định nghĩa của $B$.

a) Xây dựng cho mọi $B$-môđun $N$ một đẳng cấu $A$-tuyến tính tự nhiên từ $H_A(N)$ lên $H_B(N)$. (Dùng một phân giải đơn ánh của $N$, bây giờ chứng minh rằng chỉ cần chứng minh rằng ta có $H_A^i(J) = 0$ với mọi $i > 0$ và mọi $B$-môđun đơn ánh không phân tích được $J$. Gọi $q$ là phần tử duy nhất của $\operatorname{Ass}_B(J)$, và $p = \rho^{-1}(q)$. Nếu $p \neq m_A$, nhận xét rằng tồn tại $a \in m_A$ sao cho phép vị tự $a_J$ là song ánh. Nếu $p = m_A$, và nếu $I$ là một phân giải đơn ánh cực tiểu của $A$-môđun $J$, nhận xét rằng ta có $\operatorname{Ass}_A(I^n) = \{m_A\}$ với mọi $n$.)

b) Giả sử thêm rằng $B$ là một $A$-môđun phẳng. Xây dựng cho mọi $A$-môđun $M$ một đẳng cấu $B$-tuyến tính tự nhiên từ $B \otimes_A H_A(M)$ lên $H_B(B \otimes_A M)$.