Exercice 11, § 2

Soient $B$ un anneau noethérien intégralement clos, $G$ un groupe fini d’automorphismes de $B$, $A$ l’anneau des invariants de $G$.

a) On suppose que pour tout idéal premier $p$ de $A$ de hauteur 1 et tout idéal premier $q$ de $B$ au-dessus de $p$, la valuation $v_q$ est non ramifiée par rapport à $v_p$ (VI, § 8, n° 1). Soit $i : C(A) \to C(B)$ l’homomorphisme canonique sur les groupes de classes de diviseurs (VII, § 1, n° 10) ; prouver que le noyau de $i$ est isomorphe au groupe de cohomologie $H^1(G, B^*)$ (A, X, p. 111 ; soit $L$ le corps des fractions de $B$ ; considérer la suite exacte de $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules

en observant que $H^0(G, D(B))$ s’identifie à $D(A)$ et que $H^1(G, L^*)$ est nul).

b) Soit $k$ un corps de caractéristique 2 ; on prend pour $B$ l’anneau $k[X_1, \ldots, X_4]$, et pour $G$ le groupe d’automorphismes de la $k$-algèbre $B$ engendré par l’automorphisme $\sigma$ tel que $\sigma(X_i) = X_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq 3$ et $\sigma(X_4) = X_1$. Déduire de a) que l’anneau $A$ des invariants de $G$ est factoriel.

c) Soit $m$ la trace sur $A$ de l’idéal $(X_1, \ldots, X_4)$ ; on pose $s = X_1 + \ldots + X_4$, $t = (X_1 + X_3)(X_2 + X_4)$, $u = (X_1 + X_2)(X_3 + X_4)(X_1 + X_4)(X_2 + X_3)$, $v = X_1 X_2 X_3 X_4$. Prouver que la suite $(s, t, u, v)$ est sécante mais pas complètement sécante pour $A_m$. (Soient $x = X_1^2(X_2 + X_3) + X_2^2(X_3 + X_4) + X_3^2(X_4 + X_1) + X_4^2(X_1 + X_2)$, $y = X_1 X_3 + X_2 X_4$, $w = X_1 X_2 X_3 + X_2 X_3 X_4 + X_3 X_4 X_1 + X_4 X_1 X_2$; prouver qu’on a $sw + y^2 = u$ et que $xy + tw$ est divisible par $s$, de sorte que $ux$ appartient à l’idéal $(s, t)$.)

d) Démontrer que $A$ n’est pas un anneau de Macaulay, et que le sous- $A$-module $A.1_B$ n’est pas facteur direct dans $B$.