Bài tập 11, § 2

Cho $B$ là một vành Noether nguyên đóng, $G$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $B$, $A$ là vành các bất biến của $G$.

a) Giả sử rằng với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$ có chiều cao 1 và mọi iđêan nguyên tố $q$ của $B$ nằm trên $p$, định giá $v_q$ không phân nhánh đối với $v_p$ (VI, § 8, No. 1). Cho $i : C(A) \to C(B)$ là đồng cấu chính tắc trên các nhóm lớp ước (VII, § 1, No. 10); hãy chứng minh rằng hạt nhân của $i$ là đẳng cấu với nhóm đối đồng điều $H^1(G, B^*)$ (A, X, p. 111; hãy lấy $L$ là trường các phân thức của $B$; xét dãy khớp của các môđun $\mathbf{Z}^{(G)}$

bằng cách nhận thấy rằng $H^0(G, D(B))$ đồng nhất với $D(A)$ và rằng $H^1(G, L^*)$ là không).

b) Cho $k$ là một trường có đặc số 2; lấy $B$ là vành $k[X_1, \ldots, X_4]$, và lấy $G$ là nhóm các tự đẳng cấu của đại số-$k$ $B$ sinh bởi tự đẳng cấu $\sigma$ sao cho $\sigma(X_i) = X_{i+1}$ với $1 \leq i \leq 3$ và $\sigma(X_4) = X_1$. Suy ra từ a) rằng vành $A$ các bất biến của $G$ là nhân tử.

c) Cho $m$ là vết trên $A$ của iđêan $(X_1, \ldots, X_4)$; đặt $s = X_1 + \ldots + X_4$, $t = (X_1 + X_3)(X_2 + X_4)$, $u = (X_1 + X_2)(X_3 + X_4)(X_1 + X_4)(X_2 + X_3)$, $v = X_1 X_2 X_3 X_4$. Chứng minh rằng dãy $(s, t, u, v)$ là xuyên ngang nhưng không hoàn toàn xuyên ngang đối với $A_m$. (Cho $x = X_1^2(X_2 + X_3) + X_2^2(X_3 + X_4) + X_3^2(X_4 + X_1) + X_4^2(X_1 + X_2)$, $y = X_1 X_3 + X_2 X_4$, $w = X_1 X_2 X_3 + X_2 X_3 X_4 + X_3 X_4 X_1 + X_4 X_1 X_2$; chứng minh rằng ta có $sw + y^2 = u$ và rằng $xy + tw$ chia hết cho $s$, sao cho $ux$ thuộc về iđêan $(s, t)$.)

d) Chứng minh rằng $A$ không phải là một vành Macaulay, và rằng môđun con-$A$ $A.1_B$ không phải là một nhân tử trực tiếp trong $B$.