Exercice 5, § 2

Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini, $x = (x_1, \ldots, x_n)$ une suite d’éléments de $\mathfrak{m}_A$, engendrant un idéal $x$; on suppose que le A-module $M/xM$ est de longueur finie (ce qui implique $n \geqslant \dim(M)$). On note gr(A) et gr(M) les gradués associés à A et M pour la topologie x-adique, $\xi_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) l’image de $x_i$ dans $x/x^2$, $\xi$ la suite $(\xi_1, \ldots, \xi_n)$. a) Pour $p \in \mathbf{Z}$, on pose $F^p K_i(x, M) = K_i(x, x^{p-i}M)$ (avec la convention $x^s = A$ pour $s \leqslant 0$). Prouver que $F^p K_\bullet(x, M)$ est un sous-complexe de $K_\bullet(x, M)$, et que le complexe $\bigoplus_p F^p K_\bullet(x, M)/F^{p+1} K_\bullet(x, M)$ s’identifie à $K_{\bullet}^{\operatorname{gr}(A)}(\xi, \operatorname{gr}(M))$. b) Pour tout complexe de A-modules C tel que $H(C)$ soit de longueur finie, on pose $\chi(C) = \sum_i (-1)^i \lg(H_i(C))$. Démontrer qu’il existe un entier $p_0$ tel que le complexe

$F^p K_\bullet(x, M)/F^{p+1} K_\bullet(x, M)$ soit d’homologie nulle pour $p \geqslant p_0$; en déduire les égalités

pour $p \geqslant p_0$.

c) Prouver que l’expression ci-dessus est nulle si $n > \dim(M)$, et égale à $c_x(M)$ si $n = \dim(M)$.

d) Soient $h \geqslant 0$, et $p \geqslant p_0$; prouver que l’injection canonique de $F^p K_\bullet(x, M)$ dans $F^{p+h} K_\bullet(x, M)$ est un homologisme. En déduire que $H_i(F^p K_\bullet(x, M))$ est discret pour la topologie $x$-adique. Prouver d’autre part que la filtration de ce module définie par les images des applications $H_i(F^{p+h} K_\bullet(x, M)) \to H_i(F^p K_\bullet(x, M))$ est $x$-bonne, et en déduire que $F^p K_\bullet(x, M)$ est d’homologie nulle. Conclure que $\chi(K_\bullet(x, M))$ est nul si $n > \dim(M)$, et égal à $e_x(M)$ si $n = \dim(M)$.