Bài tập 5, § 2

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ là một A-môđun sinh hữu hạn, $x = (x_1, \ldots, x_n)$ là một dãy các phần tử của $\mathfrak{m}_A$, sinh một iđêan $x$; giả sử rằng A-môđun $M/xM$ có độ dài hữu hạn (điều này suy ra $n \geqslant \dim(M)$). Ta ký hiệu gr(A) và gr(M) là các môđun phân bậc liên kết của A và M đối với tôpô x-adic, $\xi_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) là ảnh của $x_i$ trong $x/x^2$, $\xi$ là dãy $(\xi_1, \ldots, \xi_n)$. a) Với $p \in \mathbf{Z}$, đặt $F^p K_i(x, M) = K_i(x, x^{p-i}M)$ (với quy ước $x^s = A$ đối với $s \leqslant 0$). Hãy chứng minh rằng $F^p K_\bullet(x, M)$ là một phức con của $K_\bullet(x, M)$, và rằng phức $\bigoplus_p F^p K_\bullet(x, M)/F^{p+1} K_\bullet(x, M)$ được đồng nhất với $K_{\bullet}^{\operatorname{gr}(A)}(\xi, \operatorname{gr}(M))$. b) Với mọi phức các A-môđun C sao cho $H(C)$ có độ dài hữu hạn, đặt $\chi(C) = \sum_i (-1)^i \lg(H_i(C))$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $p_0$ sao cho phức

$F^p K_\bullet(x, M)/F^{p+1} K_\bullet(x, M)$ có đồng điều không đối với $p \geqslant p_0$; suy ra các đẳng thức

đối với $p \geqslant p_0$.

c) Hãy chứng minh rằng biểu thức trên bằng không nếu $n > \dim(M)$, và bằng $c_x(M)$ nếu $n = \dim(M)$.

d) Cho $h \geqslant 0$, và $p \geqslant p_0$; hãy chứng minh rằng đơn ánh chính tắc của $F^p K_\bullet(x, M)$ vào $F^{p+h} K_\bullet(x, M)$ là một tương đương đồng điều. Suy ra rằng $H_i(F^p K_\bullet(x, M))$ là rời rạc đối với tôpô x-adic. Hãy chứng minh thêm rằng lọc của môđun này được xác định bởi các ảnh của các ánh xạ $H_i(F^{p+h} K_\bullet(x, M)) \to H_i(F^p K_\bullet(x, M))$ là x-tốt, và suy ra rằng $F^p K_\bullet(x, M)$ có đồng điều không. Kết luận rằng $\chi(K_\bullet(x, M))$ bằng không nếu $n > \dim(M)$, và bằng $e_x(M)$ nếu $n = \dim(M)$.