Exercice 1, § 3

Soient $\rho : A \to B$ un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, $N$ un $B$-module de type fini. On suppose que les $A$-modules $B$ et $N$ sont plats.

a) Démontrer l’égalité $dp_B(N) = dp_{\kappa_A \otimes_A B}(\kappa_A \otimes_A N)$ (considérer une résolution de $N$ par des $B$-modules libres de type fini).

b) Soit $M$ un $A$-module de type fini. Démontrer l’égalité

(Soit $K$ (resp. $L$) une résolution du $A$-module $M$ (resp. du $B$-module $N$) par des modules libres de type fini ; prouver que $K \otimes_A L$ est une résolution de $M \otimes_A N$ par des $B$-modules libres. Si $dp_A(M) = m$ et $dp_B(N) = n$, calculer $H_{m+n}(\kappa_B \otimes_B (K \otimes_A L))$ en fonction de $H_m(\kappa_A \otimes_A K)$ et $H_n(\kappa_B \otimes_B L)$.)