Bài tập 1, § 3

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, $N$ là một B-môđun sinh hữu hạn. Ta giả sử rằng các A-môđun $B$ và $N$ là phẳng.

a) Chứng minh đẳng thức $dp_B(N) = dp_{\kappa_A \otimes_A B}(\kappa_A \otimes_A N)$ (xét một phân giải của $N$ bởi các B-môđun tự do sinh hữu hạn).

b) Cho $M$ là một A-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh đẳng thức

(Gọi $K$ (tương ứng $L$) là một phân giải của A-môđun $M$ (tương ứng của B-môđun $N$) bởi các môđun tự do sinh hữu hạn; chứng minh rằng $K \otimes_A L$ là một phân giải của $M \otimes_A N$ bởi các B-môđun tự do. Nếu $dp_A(M) = m$ và $dp_B(N) = n$, hãy tính $H_{m+n}(\kappa_B \otimes_B (K \otimes_A L))$ theo $H_m(\kappa_A \otimes_A K)$ và $H_n(\kappa_B \otimes_B L)$. )