Exercice 10, § 3

On conserve les hypothèses de l’exerc. 9 ; on suppose que le complexe $L$ est exact en degré $\neq 0$.

a) Démontrer l’inclusion $V(\mathfrak{d}(d_{i+1})) \subset V(\mathfrak{d}(d_i))$ pour tout $i \geq 1$ (observer que d’après l’exerc. 8, un idéal premier $p$ ne contient pas $\mathfrak{d}(d_i)$ si et seulement si le $A_p$-module $(\mathrm{Coker}\ d_i)_p$ est libre).

b) On suppose désormais que l’annulateur de $H_0(L)$ n’est pas réduit à zéro. Prouver qu’on a $\mathrm{rg}(d_1) = \mathrm{rg}_A(L_0)$ (si $f$ est un élément simplifiable de $\mathfrak{d}(d_1)$, le $A_f$-module $H_0(L)_f$ est projectif de rang constant d’après l’exerc. 8, donc nécessairement nul) ; en déduire que le support de $H_0(L)$ est $V(\mathfrak{d}(d_1))$.

c) On pose $p = \mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(d_1); A)$. Prouver qu’on a $V(\mathfrak{d}(d_i)) = \mathrm{Supp}(H_0(L))$ pour $1 \leq i \leq p$ (raisonner comme dans la démonstration de a), en observant que si un idéal premier $p$ du support de $H_0(L)$ ne contenait pas $\mathfrak{d}(d_k)$, on aurait $\mathrm{dp}_{A_p} H_0(L)_p < k \leq \mathrm{grade}_{A_p} H_0(L)_p$.