Bài tập 10, § 3

Ta giữ lại các giả thiết của Bài tập 9; ta giả sử rằng phức $L$ là khớp ở bậc $\neq 0$.

a) Chứng minh bao hàm $V(\mathfrak{d}(d_{i+1})) \subset V(\mathfrak{d}(d_i))$ với mọi $i \geq 1$ (nhận thấy rằng theo Bài tập 8, một iđêan nguyên tố $p$ không chứa $\mathfrak{d}(d_i)$ khi và chỉ khi $A_p$-môđun $(\mathrm{Coker}\ d_i)_p$ là tự do).

b) Bây giờ ta giả sử rằng linh hóa tử của $H_0(L)$ không rút gọn về không. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{rg}(d_1) = \mathrm{rg}_A(L_0)$ (nếu $f$ là một phần tử giản ước được của $\mathfrak{d}(d_1)$, thì $A_f$-môđun $H_0(L)_f$ là xạ ảnh có hạng hằng theo Bài tập 8, do đó tất yếu là không); suy ra rằng giá của $H_0(L)$ là $V(\mathfrak{d}(d_1))$.

c) Đặt $p = \mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(d_1); A)$. Chứng minh rằng ta có $V(\mathfrak{d}(d_i)) = \mathrm{Supp}(H_0(L))$ với $1 \leq i \leq p$ (lập luận như trong chứng minh của a), nhận thấy rằng nếu một iđêan nguyên tố $p$ của giá của $H_0(L)$ không chứa $\mathfrak{d}(d_k)$, thì ta sẽ có $\mathrm{dp}_{A_p} H_0(L)_p < k \leq \mathrm{grade}_{A_p} H_0(L)_p$.