Exercice 15, § 3

Soient $A$ un anneau local noethérien, $M$ un $A$-module de type fini et de dimension injective finie.

a) Soit $\mathfrak p\in\operatorname{Supp}(M)$. Démontrer l’égalité $\operatorname{prof}(A)=\operatorname{prof}(A_{\mathfrak p})+\dim(A/\mathfrak p)$. (Soient $p=\operatorname{prof}(A_{\mathfrak p})$ et $q=\dim(A/\mathfrak p)$ ; observer qu’on a $p=\operatorname{di}_{A_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})$, d’où $\operatorname{Ext}_{A_{\mathfrak p}}^p(\kappa(\mathfrak p),M_{\mathfrak p})\neq0$ et par suite $\operatorname{Ext}_A^{p+q}(\kappa_A,M)\neq0$ d’après le lemme 3 du § 1, no° 7, ce qui entraîne $\operatorname{prof}(A)=\operatorname{di}_A(M)=p+q$.) Si $\operatorname{Supp}(M)=\operatorname{Spec}(A)$, $A$ est un anneau de Macaulay.

b) Démontrer l’égalité $\operatorname{grade}(M)+\dim(M)=\operatorname{prof}(A)$ (utiliser a) et l’exerc. 15 du § 1).