Bài tập 15, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và có chiều đơn ánh hữu hạn.

a) Cho $p \in \operatorname{Supp}(M)$. Chứng minh đẳng thức $\operatorname{prof}(A) = \operatorname{prof}(A_p) + \dim(A/p)$. (Đặt $p = \operatorname{prof}(A_p)$ và $q = \dim(A/p)$; nhận xét rằng ta có $p = \operatorname{di}_{A_p}(M_p)$, do đó $\operatorname{Ext}^{p}_{A_p}(\kappa(p), M_p) \neq 0$ và do đó $\operatorname{Ext}^{p+q}_{A}(\kappa_A, M) \neq 0$ theo Bổ đề 3 của § 1, No. 7, điều này kéo theo $\operatorname{prof}(A) = \operatorname{di}_A(M) = p + q .$) Nếu $\operatorname{Supp}(M) = \operatorname{Spec}(A)$, $A$ là một vành Macaulay.

b) Chứng minh đẳng thức $\operatorname{grade}(M) + \dim(M) = \operatorname{prof}(A)$ (dùng a) và Bài tập 15 của § 1).