Exercice 5, § 3

a) Soient $k$ un corps, $R$ une $k$-algèbre de degré fini. Pour que $R$ soit un anneau de Gorenstein, il faut et il suffit que le $R$-module $\mathrm{Hom}_k(R, k)$ soit libre de rang 1 (se ramener au cas où $R$ est local, et observer que le $R$-module $\mathrm{Hom}_k(R, k)$ est injectif et contient un sous-module isomorphe à $\kappa_R$; pour une autre démonstration, cf. § 8, n° 6, cor. de la prop. 5). b) On suppose que les conditions ci-dessus sont satisfaites, et que de plus l’algèbre $R$ est graduée de type $N$, avec $R_0 = k$. Soit $s$ le plus grand entier tel que $R_s \neq 0$. Prouver que $R_s$ est de dimension 1 sur $k$, et égal au socle de $R$; pour toute forme $k$-linéaire non nulle $\ell$ sur $R_s$, la forme $k$-bilinéaire $(x, y) \mapsto \ell(xy)$ sur $R_i \times R_{s-i}$ induit pour tout $i$ un isomorphisme de $R_i$ sur $\mathrm{Hom}_k(R_{s-i}, k)$. c) Soient $A$ un anneau noethérien, $B$ une $A$-algèbre qui soit un module plat de type fini. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le $B$-module $\mathrm{Hom}_A(B, A)$ est projectif de rang 1 ; (ii) pour tout idéal maximal (resp. premier) $p$ de $A$, l’anneau $\kappa(p) \otimes_A B$ est un anneau de Gorenstein.

EXERCICES

Ces conditions sont satisfaites en particulier lorsque B est un anneau de Gorenstein.