Bài tập 5, § 3

a) Cho $k$ là một trường, $R$ là một đại số $k$ có bậc hữu hạn. Để $R$ là một vành Gorenstein, điều kiện cần và đủ là $R$-môđun $\mathrm{Hom}_k(R, k)$ là tự do hạng 1 (rút gọn về trường hợp $R$ là địa phương, và nhận xét rằng $R$-môđun $\mathrm{Hom}_k(R, k)$ là đơn ánh và chứa một môđun con đẳng cấu với $\kappa_R$; để có một chứng minh khác, cf. § 8, No. 6, hệ quả của mệnh đề 5). b) Giả sử các điều kiện trên được thỏa mãn, và ngoài ra đại số $R$ là phân bậc kiểu $N$, với $R_0 = k$. Cho $s$ là số nguyên lớn nhất sao cho $R_s \neq 0$. Chứng minh rằng $R_s$ có chiều 1 trên $k$, và bằng đế của $R$; với mọi dạng tuyến tính $k$ khác không $\ell$ trên $R_s$, dạng song tuyến tính $k$ $(x, y) \mapsto \ell(xy)$ trên $R_i \times R_{s-i}$ cảm sinh với mọi $i$ một đẳng cấu của $R_i$ lên $\mathrm{Hom}_k(R_{s-i}, k)$. c) Cho $A$ là một vành Noether, $B$ là một đại số $A$ là một môđun phẳng kiểu hữu hạn. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $B$-môđun $\mathrm{Hom}_A(B, A)$ là xạ ảnh hạng 1 ; (ii) với mọi iđêan cực đại (tương ứng. nguyên tố) $p$ của $A$, vành $\kappa(p) \otimes_A B$ là một vành Gorenstein.

BÀI TẬP

Các điều kiện này được thỏa mãn đặc biệt khi B là một vành Gorenstein.