Exercice 10, § 4

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on désigne par $X_n$ l’ensemble des éléments $p$ de $\mathrm{Spec}(A)$ tels que $\dim_{A_p}(M_p) - \mathrm{prof}_{A_p}(M_p) \geqslant n$. Soit $k$ un entier $\geqslant 0$. a) Pour que $M$ satisfasse à la propriété $S_k$ ($§ 1$, exerc. 8), il faut et il suffit qu’on ait $\mathrm{codim}(X_n, \mathrm{Supp}(M)) \geqslant n + k$ pour tout $n \geqslant 0$. b) On suppose que $X_n$ est fermé dans $\mathrm{Spec}(A)$ pour tout $n \geqslant 0$. Soit $p$ un élément de $\mathrm{Supp}(M)$. Pour que le $A_p$-module $M_p$ satisfasse à la propriété $S_k$ ($§ 1$, exerc. 8), il faut et il suffit qu’on ait $\mathrm{codim}(X'_n, \mathrm{Supp}(M)) \geqslant n + k$ pour tout $n \geqslant 0$ et toute composante $X'_n$ de $X_n$ contenant $p$. c) On suppose que l’anneau $A$ est présentable. Déduire de b) que l’ensemble des idéaux premiers $p$ de $A$ tels que $M_p$ satisfasse à la propriété $S_k$ est ouvert dans $\mathrm{Spec}(A)$.