Bài tập 10, § 4

Cho $A$ là một vành Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, ký hiệu $X_n$ là tập hợp các phần tử $p$ của $\mathrm{Spec}(A)$ sao cho $\dim_{A_p}(M_p) - \mathrm{prof}_{A_p}(M_p) \geqslant n$. Cho $k$ là một số nguyên $\geqslant 0$. (a) Để $M$ thỏa mãn tính chất $S_k$ ($§ 1$, Bài tập 8), điều kiện cần và đủ là có $\mathrm{codim}(X_n, \mathrm{Supp}(M)) \geqslant n + k$ với mọi $n \geqslant 0$. (b) Giả sử rằng $X_n$ là đóng trong $\mathrm{Spec}(A)$ với mọi $n \geqslant 0$. Cho $p$ là một phần tử của $\mathrm{Supp}(M)$. Để $A_p$-môđun $M_p$ thỏa mãn tính chất $S_k$ ($§ 1$, Bài tập 8), điều kiện cần và đủ là có $\mathrm{codim}(X'_n, \mathrm{Supp}(M)) \geqslant n + k$ với mọi $n \geqslant 0$ và mọi thành phần $X'_n$ của $X_n$ chứa $p$. (c) Giả sử rằng vành $A$ là trình bày được. Suy ra từ (b) rằng tập hợp các iđêan nguyên tố $p$ của $A$ sao cho $M_p$ thỏa mãn tính chất $S_k$ là mở trong $\mathrm{Spec}(A)$.