Exercice 11, § 4

Soit $A$ l’anneau $\mathbf{Z}[X]$, où $X = (X_i)_{i \in I}$ est une famille finie d’indéterminées. Soit $J$ un idéal de $A$ engendré par des monômes. a) Soit $i \in I$; soient $P_1, \ldots, P_r ; Q_1, \ldots, Q_s$ des monômes engendrant $J$, où les $P_j$ sont divisibles par $X_i$ tandis que les $Q_k$ ne le sont pas. Prouver que le transporteur $J : X_i$ (idéal de $A$ formé des éléments $P$ tels que $X_iP \in J$) est engendré par les monômes $X_i^{-1}P_1, \ldots, X_i^{-1}P_r ; Q_1, \ldots, Q_s$. b) En déduire que si $J : X_i$ est égal à $J$ ou $A$ pour tout $i \in I$, $J$ est l’idéal engendré par les variables $X_i$ qui appartiennent à $J$. c) Soient $M$ un $A$-module, et $p$ un entier. On suppose que $\mathrm{Tor}_p^A(A/J', M)$ (resp. $\mathrm{Ext}_A^p(A/J', M)$) est nul pour tout idéal $J'$ contenant $J$ et engendré par certains des $X_i$. Prouver que $\mathrm{Tor}_p^A(A/J, M)$ (resp. $\mathrm{Ext}_A^p(A/J, M)$) est nul (soit $J'$ un idéal contenant $J$, engendré par des monômes, tel que $\mathrm{Tor}_p^A(A/J', M) \neq 0$, et maximal pour ces propriétés ; déduire de la suite exacte

et de b) que $J'$ est engendré par les éléments $X_i$ qu’il contient, ce qui contredit l’hypothèse). d) En déduire l’inégalité $\mathrm{dp}_A(A/J) \leqslant \mathrm{Card}(I)$. e) Soient $A$ un anneau, $x = (x_i)_{i \in I}$ une famille finie d’éléments de $A$ ; on suppose que pour toute partie $I'$ de $I$ la famille $(x_i)_{i \in I'}$ est complètement sécante pour $A$. Soit $J$ un idéal de $A$ engendré par des éléments $x^\alpha$, où $\alpha$ parcourt une partie finie $F$ de $\mathbf{N}^I$. Prouver l’inégalité $\mathrm{dp}_A(A/J) \leqslant \mathrm{Card}(I)$ (soit $J_0$ l’idéal de l’anneau $A_0 = \mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}]$ engendré par les $X^\alpha$ pour $\alpha \in F$ ; déduire de c) que $\mathrm{Tor}_p^{A_0}(A_0/J_0, A)$ est nul, et conclure en considérant une résolution projective du $A_0$-module $A_0/J_0$ de longueur $\leqslant n$).