Bài tập 11, § 4

Cho $A$ là vành $\mathbf{Z}[X]$, trong đó $X = (X_i)_{i \in I}$ là một họ hữu hạn các bất định. Cho $J$ là một iđêan của $A$ sinh bởi các đơn thức. a) Cho $i \in I$; cho $P_1, \ldots, P_r ; Q_1, \ldots, Q_s$ là các đơn thức sinh $J$, trong đó các $P_j$ chia hết cho $X_i$ còn các $Q_k$ thì không. Chứng minh rằng iđêan thương $J : X_i$ (iđêan của $A$ tạo bởi các phần tử $P$ sao cho $X_iP \in J$) được sinh bởi các đơn thức $X_i^{-1}P_1, \ldots, X_i^{-1}P_r ; Q_1, \ldots, Q_s$. b) Suy ra rằng nếu $J : X_i$ bằng $J$ hoặc $A$ với mọi $i \in I$, thì $J$ là iđêan được sinh bởi các biến $X_i$ thuộc $J$. c) Cho $M$ là một $A$-môđun, và cho $p$ là một số nguyên. Giả sử rằng $\mathrm{Tor}_p^A(A/J', M)$ (tương ứng $\mathrm{Ext}_A^p(A/J', M)$) bằng không đối với mọi iđêan $J'$ chứa $J$ và được sinh bởi một số các $X_i$. Chứng minh rằng $\mathrm{Tor}_p^A(A/J, M)$ (tương ứng $\mathrm{Ext}_A^p(A/J, M)$) bằng không (cho $J'$ là một iđêan chứa $J$, được sinh bởi các đơn thức, sao cho $\mathrm{Tor}_p^A(A/J', M) \neq 0$, và cực đại đối với các tính chất này; suy ra từ dãy khớp

và từ b) rằng $J'$ được sinh bởi các phần tử $X_i$ mà nó chứa, điều này mâu thuẫn với giả thiết). d) Suy ra bất đẳng thức $\mathrm{dp}_A(A/J) \leqslant \mathrm{Card}(I)$. e) Cho $A$ là một vành, $x = (x_i)_{i \in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử của $A$; giả sử rằng với mọi tập con $I'$ của $I$, họ $(x_i)_{i \in I'}$ là cắt hoàn toàn đối với $A$. Cho $J$ là một iđêan của $A$ được sinh bởi các phần tử $x^\alpha$, trong đó $\alpha$ chạy qua một tập con hữu hạn $F$ của $\mathbf{N}^I$. Chứng minh bất đẳng thức $\mathrm{dp}_A(A/J) \leqslant \mathrm{Card}(I)$ (gọi $J_0$ là iđêan của vành $A_0 = \mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}]$ được sinh bởi các $X^\alpha$ với $\alpha \in F$; suy ra từ c) rằng $\mathrm{Tor}_p^{A_0}(A_0/J_0, A)$ là không, và kết luận bằng cách xét một phân giải xạ ảnh của môđun $A_0$-môđun $A_0/J_0$ có độ dài $\leqslant n$).