Exercice 13, § 4

Soient $p$ un nombre premier, $q$ une puissance de $p$, $A$ un anneau local noethérien réduit de caractéristique $p$. On note $A^q$ le sous-anneau de $A$ formé des éléments $a^q$ pour $a\in A$. Prouver que pour que $A$ soit régulier, il faut et il suffit que le $A^q$-module $A$ soit plat.

(Se ramener au cas où $A$ est complet, donc quotient d’une algèbre de séries formelles $B=\mathbf{k}[[X_1,\ldots,X_n]]$ par un idéal $\mathfrak b$, qu’on peut supposer contenu dans $\mathfrak m_B^2$. Si $A$ est régulier, on a $\mathfrak b=0$. Si $A$ est plat sur $A^q$, soit $x_i$ l’image de $X_i$ dans $A$ ; prouver que la famille $(x_1^q,\ldots,x_n^q)$ est $A$-indépendante (exerc. 12), et en déduire l’égalité

Montrer que cela entraîne $\mathfrak b\subset (X_1^q,\ldots,X_n^q)$ ; prouver de même qu’on a $\mathfrak b\subset (X_1^{q^s},\ldots,X_n^{q^s})$ pour tout $s$, d’où finalement $\mathfrak b=0$.)