Bài tập 13, § 4

Cho $p$ là một số nguyên tố, $q$ là một lũy thừa của $p$, và $A$ là một vành địa phương Noether giảm có đặc số $p$. Ký hiệu $A^q$ là vành con của $A$ tạo bởi các phần tử $a^q$ với $a \in A$. Chứng minh rằng để $A$ chính quy, điều kiện cần và đủ là $A$ như một $A^q$-môđun là phẳng.

(Một cách quy về trường hợp $A$ đầy đủ, do đó là thương của một đại số chuỗi lũy thừa hình thức $B = \kappa_A[[X_1, \ldots, X_n]]$ theo một iđêan $b$, mà ta có thể giả sử được chứa trong $m_B^2$. Nếu $A$ chính quy, ta có $b = 0$. Nếu $A$ phẳng trên $A^q$, gọi $x_i$ là ảnh của $X_i$ trong $A$; chứng minh rằng họ $(x_1^q, \ldots, x_n^q)$ là độc lập trên A (exerc. 12), và suy ra đẳng thức $\lg_A(A/(x_1^q, \ldots, x_n^q)) = q^n$. Chỉ ra rằng điều này kéo theo $b \subset (X_1^{q^s}, \ldots, X_n^{q^s})$; chứng minh tương tự rằng ta có $b \subset (X_1^{q^s}, \ldots, X_n^{q^s})$ với mọi s, do đó cuối cùng $b = 0$.)