Exercice 6, § 4

Soient $A$ un anneau local régulier, $(x_1, \ldots, x_n)$ et $(y_1, \ldots, y_n)$ des suites sécantes maximales d’éléments de $m_A$, engendrant des idéaux $x$ et $y$ respectivement. On suppose qu’on a $y \subset x$, de sorte qu’il existe des éléments $a_{ij}$ de $A$ tels qu’on ait $y_i = \sum_j a_{ij} x_j$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$. Prouver que la classe de $\det(a_{ij})$ dans $A/y$ ne dépend pas de la matrice $(a_{ij})$ choisie, et que son annulateur est l’image de $x$; en particulier, on a $\det(a_{ij}) \neq 0$ (prouver que l’homomorphisme canonique $\operatorname{Ext}_A^n(A/x, A) \to \operatorname{Ext}_A^n(A/y, A)$ est injectif, puis montrer à l’aide des complexes de Koszul qu’il s’identifie à l’homomorphisme $A/x \to A/y$ déduit de l’homothétie de rapport $\det(a_{ij})$).