Bài tập 6, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương chính quy, $(x_1, \ldots, x_n)$ và $(y_1, \ldots, y_n)$ là các dãy ngang cực đại gồm các phần tử của $m_A$, sinh ra lần lượt các iđêan $x$ và $y$. Giả sử rằng $y \subset x$, sao cho tồn tại các phần tử $a_{ij}$ của $A$ thỏa mãn $y_i = \sum_j a_{ij} x_j$ với $1 \leqslant i \leqslant n$. Chứng minh rằng lớp của $\det(a_{ij})$ trong $A/y$ không phụ thuộc vào ma trận $(a_{ij})$ đã chọn, và linh hóa tử của nó là ảnh của $x$; đặc biệt, ta có $\det(a_{ij}) \neq 0$ (chứng minh rằng đồng cấu chính tắc $\operatorname{Ext}_A^n(A/x, A) \to \operatorname{Ext}_A^n(A/y, A)$ là đơn ánh, sau đó bây giờ chứng minh nhờ các phức Koszul rằng nó được đồng nhất với đồng cấu $A/x \to A/y$ suy ra từ phép vị tự có tỉ số $\det(a_{ij})$).