Exercice 7, § 4

Soient $A$ un anneau local régulier de dimension 3, $f$ un élément non nul de $m_A$. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) l’anneau $A/(f)$ n’est pas factoriel ; (ii) il existe un entier $n \geqslant 2$ et une matrice $X \in M_n(A)$, à éléments dans $m_A$, tels que $f = \det(X)$.

(Sous l’hypothèse (ii), prouver que l’idéal de $A/(f)$ engendré par les classes des mineurs $X^{11}, \ldots, X^{1n}$ de $X$, où $X^{1p}$ est obtenu en supprimant la première ligne et la colonne d’indice $p$, est de hauteur 1 mais non principal. Sous l’hypothèse (i), soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de hauteur 2 de $A$ dont l’image dans $A/(f)$ n’est pas principal ; déduire de l’exerc. 11 du § 3 que $\mathfrak{p}$ est engendré par les mineurs d’ordre $n-1$ d’une matrice $Y \in M_{n,n-1}(A)$ à éléments dans $m_A$. Écrire $f$ comme le déterminant d’une matrice $\tilde{Y}$ obtenue en ajoutant une colonne $Y_n$ à $Y$; si un élément de $Y_n$ est inversible se ramener au cas où $Y_n$ appartient à la base canonique de $A^n$.)