Bài tập 7, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương chính quy có chiều 3, $f$ là một phần tử khác không của $m_A$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) vành $A/(f)$ không là phân tích nhân tử; (ii) tồn tại một số nguyên $n \geqslant 2$ và một ma trận $X \in M_n(A)$, với các phần tử thuộc $m_A$, sao cho $f = \det(X)$.

(Theo giả thiết (ii), chứng minh rằng iđêan của $A/(f)$ sinh bởi các lớp của các phần tử phụ $X^{11}, \ldots, X^{1n}$ của $X$, trong đó $X^{1p}$ nhận được bằng cách xóa hàng thứ nhất và cột có chỉ số $p$, có chiều 1 nhưng không chính. Theo giả thiết (i), gọi $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố có chiều cao 2 của $A$ mà ảnh của nó trong $A/(f)$ không chính; suy ra từ Bài tập 11 của § 3 rằng $\mathfrak{p}$ được sinh bởi các phần tử phụ cấp $n-1$ của một ma trận $Y \in M_{n,n-1}(A)$ với các phần tử thuộc $m_A$. Viết $f$ dưới dạng định thức của một ma trận $\tilde{Y}$ nhận được bằng cách thêm một cột $Y_n$ vào $Y$; nếu một phần tử của $Y_n$ là khả nghịch thì rút gọn về trường hợp trong đó $Y_n$ thuộc cơ sở chính tắc của $A^n$.)