Exercice 10, § 8

Soient $A$ un anneau noethérien, $M, P, T$ des $A$-modules ; on suppose que $M$ est de type fini, $T$ de dimension injective finie, et que les modules $\mathrm{Ext}_A^i(M, P)$ et $\mathrm{Ext}_A^i(P, T)$ sont nuls pour $i > 0$. Démontrer que l’homomorphisme canonique $M \otimes_A \mathrm{Hom}_A(P, T) \to \mathrm{Hom}_A(\mathrm{Hom}_A(M, P), T)$ qui applique $m \otimes h$ sur l’homomorphisme $u \mapsto h(u(m))$ est un isomorphisme (raisonner comme dans la démonstration de la prop. 6, en remplaçant $J$ par une résolution injective de $T$).