Exercice 3, § 8

Soient $k$ un corps, $S$ l’anneau $k[T_1, \ldots, T_d]$, $\mathfrak{m}$ l’idéal $(T_1, \ldots, T_d)$. On note $S^{*gr}$ le dual gradué de $S$ (n° 6), et $(\mathbf{T}^{-\alpha})_{\alpha \in \mathbf{N}^d}$ la base duale de $(\mathbf{T}^{\alpha})_{\alpha \in \mathbf{N}^d}$ (notée $(u_{\alpha})_{\alpha \in \mathbf{N}^d}$ dans loc. cit.).

a) À tout sous-S-module de type fini $M$ de $S^{*gr}$ on associe l’idéal $\mathrm{Ann}(M)$ de $S$. Montrer qu’on définit ainsi une correspondance bijective entre les sous-modules de type fini de $S^{*gr}$ et les idéaux $\mathfrak{a}$ de $S$ contenus dans $\mathfrak{m}$ et tels que $S/\mathfrak{a}$ soit de longueur finie ; la bijection réciproque associe à l’idéal $\mathfrak{a}$ le sous-module $M$ de $S^{*gr}$ formé des éléments annulés par $\mathfrak{a}$ (observer que $M$ est un $S/\mathfrak{a}$-module de Matlis).

b) Pour que $S/\mathfrak{a}$ soit un anneau de Gorenstein, il faut et il suffit que le $S$-module $M$ soit monogène.

c) Soit $f$ l’élément $\sum T_i^{-2}$ de $S^{*gr}$ ; prouver que l’idéal $\mathfrak{a}$ correspondant au sous-module $Af$ de $S^{*gr}$ est engendré par les formes quadratiques $T_i T_j$ pour $i < j$ et $T_i^2 - T_1^2$ pour $i > 1$. Si $d \geqslant 3$ l’idéal $\mathfrak{a}$ n’est pas complètement sécant ; l’anneau de Gorenstein $A/\mathfrak{a}$ n’est pas un anneau d’intersection complète (cf. § 5, exerc. 5).