Bài tập 3, § 8

Cho $k$ là một trường, $S$ là vành $k[T_1, \ldots, T_d]$, $\mathfrak{m}$ là iđêan $(T_1, \ldots, T_d)$. Ta ký hiệu bởi $S^{*gr}$ đối ngẫu phân bậc của $S$ (No. 6), và bởi $(\mathbf{T}^{-\alpha})_{\alpha \in \mathbf{N}^d}$ cơ sở đối ngẫu của $(\mathbf{T}^{\alpha})_{\alpha \in \mathbf{N}^d}$ (được ký hiệu là $(u_{\alpha})_{\alpha \in \mathbf{N}^d}$ trong tài liệu đã dẫn).

(a) Với mọi $S$-môđun con $M$ sinh hữu hạn của $S^{*gr}$, ta liên kết iđêan $\mathrm{Ann}(M)$ của $S$. Hãy chứng minh rằng điều này xác định một sự tương ứng song ánh giữa các môđun con sinh hữu hạn của $S^{*gr}$ và các iđêan $\mathfrak{a}$ của $S$ được chứa trong $\mathfrak{m}$ và sao cho $S/\mathfrak{a}$ có độ dài hữu hạn; song ánh ngược liên kết với iđêan $\mathfrak{a}$ môđun con $M$ của $S^{*gr}$ tạo bởi các phần tử bị triệt tiêu bởi $\mathfrak{a}$ (nhận xét rằng $M$ là một $S/\mathfrak{a}$-môđun của Matlis).

(b) Để $S/\mathfrak{a}$ là một vành Gorenstein, điều kiện cần và đủ là $S$-môđun $M$ là đơn sinh.

(c) Cho $f$ là phần tử $\sum T_i^{-2}$ của $S^{*gr}$; hãy chứng minh rằng iđêan $\mathfrak{a}$ tương ứng với môđun con $Af$ của $S^{*gr}$ được sinh bởi các dạng toàn phương $T_i T_j$ với $i < j$ và $T_i^2 - T_1^2$ với $i > 1$. Nếu $d \geqslant 3$ thì iđêan $\mathfrak{a}$ không là cát tuyến hoàn toàn; vành Gorenstein $A/\mathfrak{a}$ không là một vành giao đầy đủ (cf. § 5, bài tập 5).