Exercice 10, § 9

Soit $A$ un anneau noethérien. Soit $I$ un $A$-complexe borné injectif, dont l’homologie est de type fini ; pour tout $A$-complexe $C$, on note $\mathbf{D}(C)$ le complexe $\mathrm{Homgr}_A(C, I)$.

a) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) pour tout $A$-module de type fini $M$, le morphisme canonique de complexes $\alpha_M : M \to \mathbf{D}(D(M))$ (n° 5) est un homologisme ; (ii) pour tout $A$-complexe borné $C$ dont l’homologie est de type fini, le morphisme $\alpha_C : C \to \mathbf{D}(D(C))$ (loc. cit.) est un homologisme ; (iii) le morphisme canonique $\alpha_A : A \to \mathrm{Homgr}_A(I, I)$ est un homologisme.

(Adapter la démonstration du th. 1.)

On dit que le complexe $I$ est dualisant s’il est borné, injectif, que $H(I)$ est de type fini et qu’il satisfait les conditions équivalentes ci-dessus.

b) Si $A$ admet un module dualisant $\Omega$, toute résolution injective de longueur finie $(I, \delta)$ de $\Omega$ définit un complexe dualisant (loc. cit.).

c) Soient $B$ une $A$-algèbre qui est un $A$-module de type fini, $I$ un complexe dualisant de $A$-modules ; prouver que le complexe de $B$-modules $\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(B, I)$ est dualisant. Ainsi tout anneau quotient d’un anneau de Gorenstein de dimension finie admet un complexe dualisant.

d) Soit $I$ un $A$-complexe borné injectif. Pour que $I$ soit dualisant, il faut et il suffit que le complexe de $A_m$-modules $I_m$ soit dualisant pour tout idéal maximal $m$ de $A$.

e) Soient $I$ un $A$-complexe dualisant, $P$ un $A$-module projectif de rang 1, $n$ un entier. Le complexe $I \otimes_A P(n)$ est dualisant.

f) Soient $I, J$ des $A$-complexes bornés, injectifs, dont l’homologie est de type fini, et $u : I \to J$ un homologisme ; pour que $J$ soit dualisant il faut et il suffit que $I$ le soit.