Bài tập 10, § 9

Cho $A$ là một vành Noether. Cho $I$ là một phức $A$-đơn ánh bị chặn, có đồng điều là kiểu hữu hạn; với mọi phức $A$ $C$, ký hiệu $\mathbf{D}(C)$ là phức $\mathrm{Homgr}_A(C, I)$.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $M$, cấu xạ chính tắc của các phức $\alpha_M : M \to \mathbf{D}(D(M))$ (No. 5) là một đẳng cấu đồng điều ; (ii) với mọi phức $A$ bị chặn $C$ có đồng điều là kiểu hữu hạn, cấu xạ $\alpha_C : C \to \mathbf{D}(D(C))$ (loc. cit.) là một đẳng cấu đồng điều ; (iii) cấu xạ chính tắc $\alpha_A : A \to \mathrm{Homgr}_A(I, I)$ là một đẳng cấu đồng điều.

(Thích nghi chứng minh của Định lý 1.)

Phức $I$ được gọi là đối ngẫu nếu nó bị chặn, đơn ánh, nếu $H(I)$ là kiểu hữu hạn và nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương ở trên.

b) Nếu $A$ thừa nhận một môđun đối ngẫu $\Omega$, mọi giải đơn ánh độ dài hữu hạn $(I, \delta)$ của $\Omega$ xác định một phức đối ngẫu (loc. cit.).

c) Cho $B$ là một $A$-đại số là một $A$-môđun sinh hữu hạn, $I$ là một phức đối ngẫu của các $A$-môđun; chứng minh rằng phức các $B$-môđun $\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(B, I)$ là đối ngẫu. Do đó mọi vành thương của một vành Gorenstein có số chiều hữu hạn đều thừa nhận một phức đối ngẫu.

d) Cho $I$ là một phức $A$-đơn ánh bị chặn. Để $I$ là đối ngẫu, điều kiện cần và đủ là phức các $A_m$-môđun $I_m$ là đối ngẫu với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$.

e) Cho $I$ là một phức $A$ đối ngẫu, $P$ là một $A$-môđun xạ ảnh có hạng 1, $n$ là một số nguyên. Phức $I \otimes_A P(n)$ là đối ngẫu.

f) Cho $I, J$ là các phức $A$-đơn ánh bị chặn, có đồng điều là kiểu hữu hạn, và cho $u : I \to J$ là một đẳng cấu đồng điều; để $J$ là đối ngẫu, điều kiện cần và đủ là $I$ cũng là đối ngẫu.