Exercice 2, § 9

Soient $A$ un anneau local régulier, $I$ un idéal de $A$, $B$ l’anneau $A/I$ ; on suppose que $B$ est un anneau de Macaulay. Soit $(L, p)$ une résolution projective minimale du $A$-module $B$ ; elle est de longueur $c = \mathrm{ht}(I)$. a) Soit $L^*$ le complexe $\mathrm{Homgr}_A(L, A)$ ; prouver qu’on a $H^i(L^*) = 0$ pour $i \neq c$ et que le $B$-module $H^c(L^*)$ est dualisant. b) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $A$ est un anneau de Gorenstein ; (ii) les complexes $L$ et $L^*(-d)$ sont isomorphes ; (iii) $L_c$ est libre de rang un.