Bài tập 2, § 9

Cho $A$ là một vành địa phương chính quy, $I$ là một iđêan của $A$, $B$ là vành $A/I$; giả sử rằng $B$ là một vành Macaulay. Cho $(L, p)$ là một phân giải xạ ảnh cực tiểu của A-môđun $B$; nó có độ dài $c = \mathrm{ht}(I)$. (a) Cho $L^*$ là phức $\mathrm{Homgr}_A(L, A)$; chứng minh rằng ta có $H^i(L^*) = 0$ với $i \neq c$ và rằng B-môđun $H^c(L^*)$ là môđun đối ngẫu hóa. (b) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $A$ là một vành Gorenstein ; (ii) các phức $L$ và $L^*(-d)$ là đẳng cấu ; (iii) $L_c$ là tự do hạng một.