Exercice 6, § 9

Soit $A$ un anneau local noethérien, admettant un module dualisant $\Omega$; soit $M$ un $A$-module de type fini, de dimension projective finie.

a) Prouver qu’on a $\mathrm{Tor}_i^A(\Omega, M) = 0$ pour $i > 0$. (Raisonner par récurrence sur $\dim(A)$, en considérant une suite exacte $0 \to N \to L \to M \to 0$ où $L$ est libre de type fini. Si $x$ est un élément simplifiable de $m_A$, déduire de l’hypothèse de récurrence que $\mathrm{Tor}_i^A(\Omega, N)$ est nul pour $i > 0$, ce qui entraîne $\mathrm{Tor}_i^A(\Omega, M) = 0$ pour $i > 1$, et que l’homothétie de rapport $x$ est injective dans $\Omega \otimes_A N$, ce qui entraîne que tout idéal premier $p$ associé à $\mathrm{Tor}_1^A(\Omega, M)$ est un idéal minimal de $\mathrm{Spec}(A)$; observer qu’en un tel $p$ le $A_p$-module $M_p$ est libre).

b) Prouver que le $A$-module $\Omega \otimes_A M$ est de dimension injective finie.

c) Prouver que l’application $\theta : M \to \mathrm{Hom}_A(\Omega, \Omega \otimes_A M)$ définie par $\theta(m)(w) = w \otimes m$ pour $m \in M, w \in \Omega$ est un isomorphisme (se ramener à l’aide d’une résolution projective au cas où $M$ est libre).

d) Les applications $[T] \mapsto [\mathrm{Hom}_A(\Omega, T)]$ et $[M] \mapsto [\Omega \otimes_A M]$ définissent des bijections réciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de $A$-modules de type fini et de dimension injective finie et l’ensemble des classes d’isomorphisme de $A$-module de type fini et de dimension projective finie, \* et des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre entre les catégories correspondantes *.

EXERCICES

AC X.177