Bài tập 6, § 9

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, thừa nhận một môđun đối ngẫu $\Omega$; cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, có chiều xạ ảnh hữu hạn.

a) Chứng minh rằng có $\mathrm{Tor}_i^A(\Omega, M) = 0$ với $i > 0$. (Lập luận bằng quy nạp theo $\dim(A)$, bằng cách xét một dãy khớp $0 \to N \to L \to M \to 0$ trong đó $L$ là một môđun tự do sinh hữu hạn. Nếu $x$ là một phần tử giản ước được của $m_A$, suy ra từ giả thiết quy nạp rằng $\mathrm{Tor}_i^A(\Omega, N)$ là không với $i > 0$, điều này kéo theo $\mathrm{Tor}_i^A(\Omega, M) = 0$ với $i > 1$, và phép vị tự tỉ số $x$ là đơn ánh trong $\Omega \otimes_A N$, điều này kéo theo rằng mọi iđêan nguyên tố $p$ liên kết với $\mathrm{Tor}_1^A(\Omega, M)$ là một iđêan tối tiểu của $\mathrm{Spec}(A)$; nhận xét rằng tại một $p$ như vậy thì $A_p$-môđun $M_p$ là tự do).

b) Chứng minh rằng $A$-môđun $\Omega \otimes_A M$ có chiều đơn ánh hữu hạn.

c) Chứng minh rằng ánh xạ $\theta : M \to \mathrm{Hom}_A(\Omega, \Omega \otimes_A M)$ được định nghĩa bởi $\theta(m)(w) = w \otimes m$ với $m \in M, w \in \Omega$ là một đẳng cấu (rút gọn, với sự trợ giúp của một phân giải xạ ảnh, về trường hợp $M$ là tự do).

d) Các ánh xạ $[T] \mapsto [\mathrm{Hom}_A(\Omega, T)]$ và $[M] \mapsto [\Omega \otimes_A M]$ xác định các song ánh nghịch đảo của nhau giữa tập hợp các lớp đẳng cấu của các $A$-môđun sinh hữu hạn và có chiều đơn ánh hữu hạn và tập hợp các lớp đẳng cấu của các $A$-môđun sinh hữu hạn và có chiều xạ ảnh hữu hạn, \* và các tương đương phạm trù nghịch đảo theo gần giữa các phạm trù tương ứng *.

EXERCISES

AC X.177