Exercice 8, § 9

Soient $A$ un anneau local de Gorenstein, $a$ un idéal non nul de hauteur nulle, et $b$ l’annulateur de $a$.

a) Prouver que l’idéal $b$ est de hauteur nulle, et que le $A$-module $A/b$ n’a pas d’idéaux premiers associés immersés (observer que tout idéal premier associé à $A/b$ est associé à $A$).

b) On suppose que le $A$-module $A/a$ n’a pas d’idéaux premiers associés immersés ; prouver que $a$ est l’annulateur de $b$ (se ramener au cas où $\dim(A) = 0$, et utiliser la dualité de Matlis).

c) Pour que $A/a$ soit un anneau de Macaulay, il faut et il suffit qu’en soit ainsi de $A/b$ (utiliser le cor. du th. 1 et celui de la prop. 3). Si ces conditions sont vérifiées, le $A/a$-module $b$ est dualisant.