Bài tập 8, § 9

Cho $A$ là một vành địa phương Gorenstein, $a$ là một iđêan khác không có chiều cao không, và $b$ là linh hóa tử của $a$.

a) Chứng minh rằng iđêan $b$ có chiều cao không, và rằng $A$-môđun $A/b$ không có các iđêan nguyên tố liên kết nhúng (nhận xét rằng mọi iđêan nguyên tố liên kết của $A/b$ đều liên kết với $A$).

b) Giả sử rằng $A$-môđun $A/a$ không có các iđêan nguyên tố liên kết nhúng; chứng minh rằng $a$ là linh hóa tử của $b$ (rút gọn về trường hợp $\dim(A) = 0$, và dùng đối ngẫu Matlis).

c) Để $A/a$ là một vành Macaulay, điều kiện cần và đủ là điều tương tự đúng với $A/b$ (dùng hệ quả của định lý 1 và của mệnh đề 3). Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, $A/a$-môđun $b$ là đối ngẫu hóa.