Exercice 15, § 1

On dit qu’une loi $\tau$ sur un ensemble E est idempotente si tous les éléments de E sont idempotents (I, p. 7) pour cette loi, c’est-à-dire si $x \tau x = x$ pour tout $x \in E$. Montrer que, si une loi $\tau$ sur E est associative, commutative et idempotente, la relation $x \tau y = y$ est une relation d’ordre dans E; si on l’écrit $x \leqslant y$, deux éléments quelconques $x, y$ de E admettent une borne supérieure (pour cette relation d’ordre) égale à $x \tau y$. Réciproque.