Exercice 14, § 2

Pour une loi associative sur un ensemble fini E, il existe des parties minimales de la forme aE (c’est-à-dire des éléments minimaux de l’ensemble des parties de E de cette forme, ordonné par inclusion). a) Si M = aE est minimale, on a xM = xE = M pour tout x ∈ M; muni de la loi induite par celle de E, M est un semi-groupe à gauche (I, p. 120, exerc. 11) dans lequel toute translation à gauche est bijective (cf. I, p. 120, exerc. 13). b) Si M = aE et M' = a'E sont minimales et distinctes, on a M ∩ M' = ∅ ; pour tout b ∈ M, l’application x' ↦ bx' de M' dans M est une application bijective de M' sur M. En déduire qu’il existe un idempotent u' ∈ M' tel que bu' = b, et un idempotent u ∈ M tel que uu' = u (prendre pour u l’idempotent tel que bu = b). Montrer que u'u = u' (considérer uu'u), et que tout y' ∈ M' tel que y'u = y' appartient à M’u'. c) Montrer que l’application x' ↦ ux' de M’u' dans M est un isomorphisme de M’u' sur Mu; en déduire que M et M' sont des semi-groupes à gauche isomorphes. d) Soient Mi (1 ≤ i ≤ r) les parties minimales distinctes de la forme aE; déduire de b) qu’on peut ranger les idempotents de chaque semi-groupe à gauche Mi en une suite (uij) (1 ≤ j ≤ s) de sorte qu’on ait uijukj = uij quels que soient i, j, k. Si K est la réunion des Mi, montrer que Euij ⊂ K (remarquer que pour tout x ∈ E, xuijE est une partie minimale de la forme aE); en déduire que Euij est la réunion des ukjEukj pour 1 ≤ k ≤ r (montrer que (Euij) ∩ Mk = ukjEukj), et que EuijE = K. Prouver enfin que toute partie minimale de la forme Eb est identique à un des s ensembles Euij (remarquer, à l’aide de a), que Ebuijb = Eb, et en déduire que Eb ⊂ K).