Bài tập 14, § 2

Đối với một luật kết hợp trên một tập hữu hạn $E$, tồn tại các tập con cực tiểu có dạng $aE$ (nghĩa là các phần tử cực tiểu của tập hợp các tập con của $E$ có dạng này, có thứ tự theo quan hệ bao hàm). (a) Nếu $M = aE$ là cực tiểu, thì $xM = xE = M$ với mọi $x \in M$; với luật cảm sinh bởi luật trên $E$, $M$ là một nửa-nhóm trái (Bài tập 11), trong đó mọi phép tịnh tiến trái đều song ánh (cf. Bài tập 13). (b) Nếu $M = aE$ và $M' = a'E$ là cực tiểu và phân biệt, thì $M \cap M' = \varnothing$; với mọi $b \in M$, ánh xạ $x' \mapsto bx'$ từ $M'$ vào $M$ là một ánh xạ song ánh từ $M'$ lên $M$. Suy ra tồn tại một phần tử lũy đẳng $u' \in M'$ sao cho $bu' = b$ và một phần tử lũy đẳng $u \in M$ sao cho $uu' = u$ (lấy $u$ là phần tử lũy đẳng sao cho $bu = b$). Chứng minh rằng $u'u = u'$ (xét $uu'u$) và mọi $y' \in M'$ sao cho $y'u = y'$ đều thuộc $M'u'$. (c) Chứng minh rằng ánh xạ $x' \mapsto ux'$ từ $M'u'$ vào $M$ là một đẳng cấu của $M'u'$ lên $Mu$; suy ra $M$ và $M'$ là các nửa-nhóm trái đẳng cấu. (d) Cho $M_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các tập con cực tiểu phân biệt có dạng $aE$: suy ra từ (b) rằng các phần tử lũy đẳng của mỗi nửa-nhóm trái $M_i$ có thể được sắp thành một dãy $(u_{ij})$ ($1 \leq j \leq s$) sao cho $u_{ij}u_{kj} = u_{ij}$ với mọi $i, j, k$. Nếu $K$ là hợp của các $M_i$, chứng minh rằng $Eu_{ij} \subset K$ (chú ý rằng, với mọi $x \in E$, $xu_{ij}E$ là một tập con cực tiểu có dạng $aE$); suy ra $Eu_{ij}$ là hợp của các $u_{kj}Eu_{kj}$ với $1 \leq k \leq r$ (chứng minh rằng $(Eu_{ij}) \cap M_k = u_{kj}Eu_{kj}$) và $Eu_{ij}E = K$. Cuối cùng, chứng minh rằng mọi tập con cực tiểu có dạng $Eb$ đều trùng với một trong $s$ tập $Eu_{ij}$ (chú ý, dùng (a), rằng $Ebu_{ij}b = Eb$ và suy ra rằng $Eb \subset K$).